Tricotomus

En référence à la théorie de l’ordre.

Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n’est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d’un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu’il soit abélien.

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On dit que G est un groupe fini lorsque l’ensemble G est fini. Le nombre d’éléments de G est alors noté |G| et est appelé ordre du groupe.

On supposera dans la suite que G est un groupe fini.

Soit g G g\in G. Comme G est fini, le principe des tiroirs de Dirichlet permet de montrer que l’ensemble E g k N g k 1 {\displaystyle E_{g}=\{k\in \mathbb {N} ^{*}\mid g^{k}=1\}} est non vide. Il admet donc un plus petit élément, que l’on appelle l’ordre de g g.

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Attention au risque de confusion, ici le terme ordre désigne successivement deux concepts différents, mais il y a quand même un lien, voir ci-dessous (groupe cyclique).

L’ordre d d’un élément g possède une propriété arithmétique très utile (qui provient directement de la division euclidienne) :

Soit n un entier non nul tel que gn = 1, alors d divise n.

Un sous-ensemble S de G engendre ce groupe si tous les éléments de G s’écrivent comme un produit d’éléments ou d’inverses d’éléments de S. L’ensemble S est appelé une partie génératrice de G.

Comme G est fini, l’inverse d’un élément g est une puissance de g (plus précisément, on a g-1 = gd–1, où d désigne l’ordre de g). Il suit donc qu’un sous-ensemble S de G est une partie génératrice si et seulement si tout élément de G est un produit d’éléments de S.

Un groupe (fini ou pas) engendré par un singleton {g} est dit cyclique. Par abus de langage, on dit que l’élément g engendre G, et on note alors

G g

G=\langle g\rangle. Il est facile de vérifier qu’un tel groupe est nécessairement abélien.

Remarquons que l’ordre d’un groupe cyclique fini est égal à l’ordre d’un de ses générateurs.

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Tous les éléments d’un groupe fini G ont un ordre inférieur ou égal à |G|.

Un résultat fondamental dans l’étude des groupes finis est le théorème de Lagrange :

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G, alors l’ordre de H divise l’ordre de G.

Une conséquence immédiate est que si G est un groupe d’ordre m, alors tout élément g de G vérifie gm = 1 (considérer le sous-groupe engendré par g).

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